Заседание Московского математического общества 14 февраля 2017 г.

(начало в 18 час. 30 мин., ауд. 16-10 Главного здания МГУ)

Совместные спектральные характеристики матриц

В.Ю.Протасов

Каждому конечному семейству nxn - матриц соответствуют его совместные спектральные характеристики - показатели асимптотического роста норм длинных произведений этих матриц (повторы в произведениях допускаются).  Для одной матрицы все характеристики совпадают с ее спектральным радиусом, но уже для двух матриц получается содержательная теория.

Совместные спектральные характеристики были введены в начале 1960 гг. независимо Фюрстенбергом, Кестеном и Кигманом (мультипликативный показатель Ляпунова) и Ротой и Стрэнгом (совместный спектральный радиус). 

Потом появились и другие. Существенный вклад был сделан в работах Тутубалина, Оселедца, Барабанова, Козякина, Владимирова, и др. Данные характеристики замечательны разнообразием приложений: от функционального анализа до теории чисел и дискретной математики. А также сложностью их вычисления даже в малых размерностях. Последнее объясняется рядом негативных результатов об алгоритмической сложности задачи, полученных Блонделем и Цициклисом.

Тем не менее, совсем недавно были разработаны методы, которые для большинства семейств матриц эффективно вычисляют спектральные  характеристики и даже находят их точные значения. Каждый из этих методов имеет серьезную теоретическую базу. Мы обсудим основные идеи и подходы, а также сформулируем ряд открытых задач.

 

Категория: 
Наука